Mathematik fuer Physiker by Helmut Kaul

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C) Satz (Poincar´e 1893). Die Hamilton–Gleichungen (HG) sind die Euler– Gleichungen des Variationsintegrals f¨ ur Kurven x → (y(x), p(x)) im 2m auf Intervallen I = [α, β] β FH (y, p) = FH (y, p, I) := p(x), y (x) − H(x, y(x), p(x)) dx , α folgt aus dem Vergenauer: F¨ ur eine beliebige C1 –Funktion H : ΩH → schwinden der ersten Variation δFH (q, p) die C1 –Differenzierbarkeit von q, p und das Bestehen der mit H gebildeten Hamilton–Gleichungen. Bemerkungen. (i) Wegen F (x, y, z) = p, z − H(x, y, p) 1 gilt f¨ ur C –Kurven y : I → FH (y, p) = F (y) , f¨ ur p = ∇z F (x, y, z) m falls p(x) = ∇z F (x, y(x), y (x)) .

1 Integral–Nebenbedingungen und Lagrange–Multiplikatoren (a) Wir betrachten ein isoperimetrisches Problem der Form F (v) = min auf V unter der Nebenbedingung G(v) = c ; dabei sind F , G ein– oder mehrdimensionale Variationsintegrale auf einer durch Randbedingungen gegebenen Variationklasse V ⊂ D(F ) ∩ D(G). 2 bzw. 2 (b) (∗) u ∈ V , η ∈ δV =⇒ u + η ∈ V f¨ ur η C1 1. Durch die Nebenbedingung G(v) = c soll eine echte, nichtleere Teilmenge Vc := V ∩ {G = c} = {v ∈ V | G(v) = c} von V gegeben sein. B.

Also hat Φ an jeder Stelle den Maximalrang 2m + 1. Nach dem lokalen Umkehrsatz Bd. 2 gibt es zu jedem Punkt aus der Bildmenge ΩH = Φ(ΩF ) eine Umgebung, die ort. Also ist ΩH offen und als stetiges Bild eines Gebiets wegzusamzu ΩH geh¨ menh¨ angend. Damit ist Φ eine bijektive Abbildung zwischen zwei Gebieten, ✷ deren Umkehrung Cr−1 –differenzierbar ist. 4 Der Regularit¨ atssatz (a) Satz (Hilbert 1899). Ist F elliptisch und Cr –differenzierbar (r ≥ 2), so ist jede schwache Extremale u von F Cr –differenzierbar.

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